Question

【題目】[不等式選講]

設(shè)函數(shù)f（x）=a（x﹣1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；
（Ⅱ）設(shè)|a|≤1，當(dāng)|x|≤1時(shí)，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（ I）當(dāng)a=1時(shí)，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x
當(dāng)x≤﹣1時(shí)，得1﹣x﹣x﹣1≥3xx≤0，∴x≤﹣1當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，得1﹣x+x+1≥3x ，∴ ，當(dāng)x≥1時(shí)，得x﹣1+x+1≥3xx≤0，與x≥1矛盾，
綜上得原不等式的解集為 = （II）證明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|∵|a|≤1，|x|≤1
∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|= ，當(dāng) 時(shí)取“=”，得證．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x，分類討論，即可解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）設(shè)|a|≤1，當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|，即可證明： ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．