Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＞0，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= +2x﹣1= ，（x＞0），
令g（x）=2x2﹣x+a=2 +a﹣ ，（x＞0），
a≥ 時，g（x）≥0，即f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）遞增，
0＜a＜ 時，令g′（x）＞0，解得：x＞ 或0＜x＜ ，
令g′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
故f（x）在（0， ）遞增，在（ ， ）遞減，
在（ ，+∞）遞增；
（Ⅱ）x=1時，顯然成立，
x＞1時，問題轉化為a≥ 在（1，+∞）恒成立，
令h（x）= ，則h′（x）= ，
令m（x）=（﹣2x+1）lnx+x﹣1，（x＞1），
則m′（x）=﹣2lnx+ ＜0，
故m（x）＜m（1）=0，
故h′（x）在（1，+∞）遞減，
而 = =﹣1，
故a≥﹣1
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出函數的導數，問題轉化為a≥ 在（1，+∞）恒成立，令h（x）= ，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．