Question

【題目】拋物線(xiàn)y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且位于x軸下方．

（1）如下圖，若P(1，－3)、B(4，0)，① 求該拋物線(xiàn)的解析式；② 若D是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2） 如下圖，在圖中的拋物線(xiàn)解析式不變的條件下，已知直線(xiàn)PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OF是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②或；（2）.

【解析】

（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；

②根據(jù)平行線(xiàn)的判定，可得，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）作于Q點(diǎn)，設(shè)，可表示出的長(zhǎng)，可得答案.

（1）①將P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得

，解得 ，拋物線(xiàn)的解析式為： ．

②如圖：

由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P(1，－3)得D(-1，-3)；

如圖，D在P右側(cè)，即圖中D2，則∠D2PO＝∠POB，延長(zhǎng)PD2交x軸于Q，則QO＝QP，

設(shè)Q（q，0），則（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），則直線(xiàn)PD2為 ，

再聯(lián)立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1，-3)或（ ）

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，設(shè)P（x，）有OH=x，PH=，

易證：△PAH∽△EAO，則 即，∴，

同理得∴，∴，則OE＋OF＝

∴OE+OF是定值，等于。