Question

【題目】已知橢圓C： +y2=1與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2= 相切于點W（O為坐標原點）．
（1）證明：OE⊥OF；
（2）設λ= ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l與圓O相切，

∴圓x2+y2= 的圓心到直線l的距離d= = ，

∴ ；

由 ，得：

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0；

設E（x1，y1），F（x2，y2），

則 ， ；

∴

∴OE⊥OF；

（2）解：∵直線l與圓O相切于W， ，

∴ ；

由（1）知x1x2+y1y2=0，

∴x1x2=﹣y1y2，即 ；

從而 ，

即 ，

∴ ；

∵﹣ ≤x1≤ ，

∴λ∈[ ，2]．

【解析】（1）由直線l與圓O相切，得圓心到直線l的距離d=r，再由直線l與橢圓C相交，得出E、F點的坐標關系，從而證明OE⊥OF；（2）根據直線l與圓O相切于點W，以及OE⊥OF，得出λ= 的坐標表示，求出λ的取值范圍．