Question

【題目】如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直， ， ， ．

（I）求證： 平面．

（II）求證： 平面．

（III）求四面體的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）欲證AC⊥平面BDE，只需證明AC垂直平面BDE中的兩條相交直線即可，因為AC與BD是正方形ABCD的對角線，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的兩條相交直線，問題得證．

（2）欲證AC∥平面BEF，只需證明AC平行平面BEF中的一條直線即可，利用中位線的性質證明OG平行DE且等于DE的一半，根據已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG與AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG為平面BEF中的一條直線，問題得證．

（3）四面體BDEF可以看做以△DEF為底面，以點B為頂點的三棱錐，底面三角形DEF的底邊DE=2，高DA=2，三棱錐的高為AB，長度等于2，再代入三棱錐的體積公式即可．

（）因為平面平面， ，

即，所以平面，

因為平面，所以，

因為是正方形，所以， ，所以平面．

（）設，取中點，連接、，如下圖：

所以平行且等于，

因為， ，

所以平行且等于，從而四邊形是平行四邊形，

，因為平面， 平面，所以平面，

即平面．

（）， ，

因此四面體的體積．