Question

【題目】在平面直角坐標系中，設動點到兩定點， 的距離的比值為的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程，并判斷直線與曲線的位置關系．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）設為所求曲線上任意一點，由題意得， ．又， ，所以，化簡得，即得出曲線的方程；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時,不符合題意．設直線的方程為,因為點到直線的距離為,即,解得．即得出直線的方程，利用圓心到直線的距離與半徑關系得出直線與曲線的位置關系．

試題解析：

（Ⅰ）設為所求曲線上任意一點，由題意得， ．又， ，所以，化簡得．故曲線的方程為．

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時,不符合題意．設直線的方程為,因為點到直線的距離為,即,解得．所以直線的方程為,即．因為圓心到直線的距離為 (半徑),所以直線與曲線相交．