Question

【題目】已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于B，C兩點．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設直線AB和AC分別與直線x＝4交于點M，N，問：x軸上是否存在定點P使得MP⊥NP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點P(1，0)或P(7，0)，

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程分別求出a,b,c的值，求出離心率；（2）假設在x軸上存在點p，設直線BC的方程為，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理求出的表達式，求出M,N的坐標，由MP⊥NP，求出P點的坐標，即得出定點。

試題解析：　(1)由橢圓方程可得a＝2，b＝，從而橢圓的半焦距c＝＝1.

所以橢圓的離心率為e＝＝.

(2)依題意，直線BC的斜率不為0，

設其方程為x＝ty＋1.

將其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.

設B(x1，y1)，C(x2，y2)，

所以y1＋y2＝，y1y2＝.

易知直線AB的方程是y＝ (x＋2)，

從而可得M(4，)，同理可得N(4，)．

假設x軸上存在定點P(p，0)使得MP⊥NP，則有·＝0.

所以(p－4)2＋＝0.

將x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得

(p－4)2＋＝0，

所以(p－4)2＋＝0，

即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.

所以x軸上存在定點P(1，0)或P(7，0)，使得MP⊥NP.