Question

【題目】已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數f（x）滿足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函數；又定義行列式=a1a4﹣a2a3； 函數g（θ）=（其中0≤θ≤）．
（1）證明：函數f（x）在（0，+∞）上也是增函數；
（2）若函數g（θ）的最大值為4，求m的值；
（3）若記集合M={m|任意的0≤θ≤ ， g（θ）＞0}，N={m|任意的0≤θ≤ ， f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

【答案】證明：（1）在（0，+∞）上任取x1 ， x2 ， 令x1＜x2 ，
∵定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數f（x）滿足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函數，
∴f（x1）﹣f（x2）=﹣f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上也是增函數．
解：（2）g（θ）=
=sin2θ+mcosθ﹣3m
=1﹣cos2θ+mcosθ﹣3m，
=﹣（cosθ﹣）2+，
∵函數g（θ）的最大值為4，f（x）在（﹣∞，0）上是增函數，又f（x）是奇函數，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函數，
∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（），cosθ=1（），cosθ=（0＜）處取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，則有1﹣3m=4，m=﹣1，此時=-，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，則有﹣2m=4，m=﹣2，此時=-1，不符合；
若cosθ=，g（θ）=4，則有=4，m=6+4或m=6﹣4，此時=3+2或m=3﹣2，不符合；
綜上，m=﹣1．
（3）∵f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，且滿足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，
又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函數，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，
當m＞=
=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，
∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[﹣1，﹣]，
此時，m＞﹣；
=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，
∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[﹣1，﹣]，
此時，m＞﹣．
當m＜=
=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6
=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，
∴6≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[0，6﹣4]，
此時，m＜0；
綜上，m∈（﹣，0）．
∴M∩N=（﹣，0）．
【解析】（1）利用定義法能證明函數f（x）在（0，+∞）上也是增函數．
（2）由已知可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，由定義表示出g（θ），根據二次函數的性質分類討論可表示出其最大值，令其為4可求m值；
（3）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，則M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，從而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，轉化為不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，分離出參數m后，轉化為求函數的最值即可，變形后借助“對勾函數”的性質可求得最值；