Question

【題目】已知函數f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）若f（1）= ，試求f（x）在區間[﹣2，6]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），

∴f（x）=f（﹣x），即f（x）為奇函數

（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵當x＞0時，f（x）＞0，且x1＜x2，

∴f（x2﹣x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）為增函數，

∴當x=﹣2時，函數有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．

當x=6時，函數有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3

【解析】（1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可證明f（x）是奇函數；（2）利用函數單調性的定義，借助于已知等式證明函數f（x）為增函數，從而求出函數在給定區間上的最值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義和函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．