Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設函數f（x）的圖象C1與函數g（x）圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1 ， C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）b=2時，h（x）=lnx﹣ ax2﹣2x，
則h′（x）= ﹣ax﹣2=﹣ ．
因為函數h（x）存在單調遞減區間，所以h'（x）＜0有解．
又因為x＞0時，則ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．
①當a＞0時，y=ax2+2x﹣1為開口向上的拋物線，ax2+2x﹣1＞0總有x＞0的解；
②當a＜0時，y=ax2+2x﹣1為開口向下的拋物線，而ax2+2x﹣1＞0總有x＞0的解；
則△=4+4a≥0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此時，﹣1＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍為（﹣1，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）設點P、Q的坐標分別是（x1 ， y1），（x2 ， y2），0＜x1＜x2 ．
則點M、N的橫坐標為x= ，
C1在點M處的切線斜率為k1= ，x= ，k1= ，
C2在點N處的切線斜率為k2=ax+b，x= ，k2= +b．
假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1=k2 ．
即 = +b，
則
= （x22﹣x12）+b（x2﹣x1）
= （x22+bx2）﹣（ +bx1）
=y2﹣y1
=lnx2﹣lnx1 ．
所以 = ．設t= ，則lnt= ，t＞1①
令r（t）=lnt﹣ ，t＞1．則r′t= ﹣ = ．
因為t＞1時，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上單調遞增．故r（t）＞r（1）=0．
則lnt＞ ．這與①矛盾，假設不成立．
故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行
【解析】（Ⅰ）先求函數h（x）的解析式，因為函數h（x）存在單調遞減區間，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范圍；（Ⅱ）先利用導數分別表示出函數在C1在點M處的切線與C2在點N處的切線，結合過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1 ， C2于點M、N，建立關系式，通過反證法進行證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的性質(函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集)．