Question

【題目】已知：以點 為圓心的圓與軸交于點、，與軸交于點、，其中為原點．

（）求證： 的面積為定值．

（）設直線與圓交于點、，若，求：圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）因為圓C過原點，利用兩點間的距離公式表示出出O到C的距離即為圓的半徑，然后根據點C的坐標，寫出圓C的標準方程，令x=0，解出相應y的值，令y=0解出相應x的值，進而表示出點A和點B的坐標，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，約分后得到面積為定值，得證；

（2）根據圓上的點到圓心的距離相等得到|CM|=|CN|，又因為|OM|=|ON|，得到OC垂直平分線段MN，由已知直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線OC的斜率，然后利用C的坐標表示出斜率，兩者相等得到關于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入點C的坐標中確定出圓心的坐標和圓的半徑，利用點到直線的距離公式判斷圓心到已知直線的距離小于半徑即已知直線與圓相交，把不符合題意的t舍去，得到滿足題意的t的值，進而得到圓C的方程；

試題解析：（1）∵圓C過原點O，∴OC2=t2+，

則圓C的方程為（x-t）2+（y-）2= t2+，令x=0，，得y1=0，；

令y=0得x1=0，x2=2t，

即A（2t，0），B（0，），

=4．

即△OAB的面積為定值；

（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分線段MN．

∵KMN=-2，∴KOC=

，解得t=2或t=-2．

當t=2時，圓心C的坐標為（2，1）半徑OC=，

此時圓心到直線y=-2x+4的距離d=，

即圓C與直線y=-2x+4相交于兩點．

當t=-2時，圓心C的坐標為（-2，-1）半徑OC=

此時圓心到直線y=-2x+4的距離d=，即圓C與直線y=-2x+4不相交，<BR>∴t=-2不合題意，舍去．

∴圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5．