Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，，為中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若，，的交點記為，求證平面；

（3）在（2）的條件下求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形的性質可得，根據菱形的性質可得，由線面垂直的判定定理可得面，根據面面垂直的判定定理可得結果；（2）由，為中點，可得，由（1）知，利用線面垂直的判定定理可得結論；（3）先證明面，則，利用棱錐的體積公式可得結果.

試題解析：（1）設，連結，

∴，為中點，

∴，

又∵底面為菱形，

∴，

∵，

∴面，

又∵面，

∴面面．

（2）∵，為中點，

∴，

又∵，，

∴面．

（3）過作于，

∴，

又∵面，

面，

∴

．

【方法點晴】本題主要考線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等積變換求棱錐體積，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.