Question

【題目】已知橢圓E的一個頂點為A（0，﹣1），焦點在x軸上，若橢圓右焦點到直線x﹣y+2 =0的距離為3 （Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（k≠0）與該橢圓交于不同的兩點B，C，若坐標原點O到直線l的距離為 ，求△BOC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）設橢圓的標準方程為： +y2=1．右焦點F（c，0）． 則 =3，解得c= ．
∴a2= =3．
∴橢圓E的方程為 +y2=1．
（II）由坐標原點O到直線l的距離為 ，∴ = ，化為：4m2=3k2+3．
設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．
聯立 ，化為：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0．
△＞0，∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∴|BC|= =
= = ，
∴S△BOC= ×|BC|= = ×
= ≤ = ，
當且僅當k= 時取等號．
∴△BOC面積的最大值是
【解析】（I）設橢圓的標準方程為： +y2=1．右焦點F（c，0）．則 =3，解得c．可得a2=1+c2 ． （II）由坐標原點O到直線l的距離為 ，可得：4m2=3k2+3．設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．直線方程與橢圓方程聯立化為：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0．可得|BC|= ，利用S△BOC= ×|BC|，及其基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．