Question

【題目】從某市統考的學生數學考試卷中隨機抽查100份數學試卷作為樣本，分別統計出這些試卷總分，由總分得到如下的頻率分布直方圖．
（1）求這100份數學試卷的樣本平均分 和樣本方差s2（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
（2）由直方圖可以認為，這批學生的數學總分Z服從正態分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數 ，σ2近似為樣本方差s2 ． ①利用該正態分布，求P（81＜z＜119）；
②記X表示2400名學生的數學總分位于區間（81，119）的人數，利用①的結果，求EX（用樣本的分布區估計總體的分布）．
附： ≈19， ≈18，若Z=～N（μ，2），則P（μ﹣σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意， =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，

樣本方差s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366

（2）解：Z～N（100，366），P（81＜z＜119）=P（100﹣19＜z＜100+19）=0.6826；

②數學總分位于區間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），

EX=2400×0.6826=1638.24

【解析】（1）一組中的數據用該組區間的中點值作代表，求這100份數學試卷的樣本平均分 和樣本方差s2；（2）①利用該正態分布，Z～N（100，366），即可求P（81＜z＜119）；②數學總分位于區間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），即可求EX．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．