Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）當時，求在處的切線方程；

（Ⅱ）若且函數有且僅有一個零點，求實數的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若時， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數在處的導數值，計算出，利用點斜式寫出切線方程；（Ⅱ）令，解出，令，利用導數可得在上單調遞增，在上單調遞減，根據， ， ，可得結果；（Ⅲ）將題意轉化為，利用導數判斷函數的單調性,可得其最大值.

試題解析：（Ⅰ）當時， 定義域，

∴，又

在處的切線方程

（Ⅱ）令，則

即

令，則

令，則，

∵，∴，∴在上是減函數，

又∵，所以當時， ，當時， ，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，又因為， ，

∴當函數有且僅有一個零點時，

（Ⅲ）當， ，若， ，只需證明

，

令得或，又∵，

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，即是的極大值點，

又，

∵ ，

∴，∴