Question

【題目】在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在上述△ABC中，若角C的對邊c=1，求該三角形內切圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據正弦定理，原式可變形為：c（cosA+cosB）=a+b①，

∵根據任意三角形射影定理得：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，

∴a+b=c（cosA+cosB）+cosC（a+b）②，

由于a+b≠0，故由①式、②式得：cosC=0，

∴在△ABC中，∠C=90°，

則△ABC為直角三角形；

（2）解：∵c=1，sinC=1，∴由正弦定理得：外接圓半徑R= = ，

∴ = = =2R=1，即a=sinA，b=sinB，

∵sin（A+ ）≤1，

∴內切圓半徑r= （a+b﹣c）= （sinA+sinB﹣1）= （sinA+sinB）﹣ = sin（A+ ）﹣ ≤ ，

∴內切圓半徑的取值范圍是（0， ]．

【解析】（1）已知等式利用正弦定理化簡得到關系式c（cosA+cosB）=a+b，再利用三角形射影定理得到a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，表示出a+b，聯立兩式求出cosC的值為0，確定出C的度數為90°，即可對于三角形ABC形狀為直角三角形；（2）由c及sinC的值，利用正弦定理求出外接圓的半徑R，表示出a與b，根據內切圓半徑r= （a+b﹣c），將a與b代入并利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據正弦 函數的值域即可確定出r的范圍．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．