Question

設函數，
（1）求函數的單調區間；
（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；   
（3）若關于的方程在區間上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析（2）>e²2（3）a的取值范圍是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3

試題分析：（1）確定函數定義域，求導函數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）確定函數在上的單調性，從而可得函數的最大值，不等式，即可求得實數m的取值范圍；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求導函數，確定函數在區間[0，2]上的單調性，為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實根，從而可建立不等式，由此可求實數a的取值范圍．
試題解析：依題意知，
又因為            1分
（1）令
或x>0，所以f(x)的單調增區間為（－2，－1）和（0，+∞）   3分
令
的單調減區間（1，0）和（∞，2）    5分
（2）令（舍）            6分
           8分
因此可得：f(x)<恒成立時，>e²2                        9分
（3）原題可轉化為方程=(1+x)－ln(1+x)²在區間[0，2]上恰好有兩個相異實根 10分

11分


且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4    13分
所以在區間[0，2]上原方程恰有兩個相異的實根時,實數a的取值范圍是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3                14分