Question

已知函數
(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；
(2)求證函數在上為單調增函數；
(3)設，，且，求證：．

Answer 1

(1)； (2)詳見解析； (3)詳見解析

試題分析：(1) 先求導，由導數的幾何意義可得在點的導數即為在此點處切線的斜率。從而可得的值。 (2) 先求導，證導數在 大于等于0恒成立。(3)因為，不妨設，因為在上單調遞增，所以，所以可將問題轉化為，可整理變形為，設，因為且，只需證在上單調遞增即可。
試題解析：(1) = ()，()，
因為曲線在點處的切線與直線平行，
，解得。
(2)=()

所以函數在上為單調增函數；
(3)不妨設，則．
要證．
只需證, 即證．
只需證．設．
由(2)知在上是單調增函數，又，
所以．即 ，即．
所以不等式成立.