Question

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；
（2）設(shè)，問(wèn)是否存在，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，得到有2個(gè)根，而在處有極大值，所以那2個(gè)根分別等于，得到a的值；第二問(wèn)，假設(shè)存在使得，將代入得到解析式，由于，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了存在，使得，分類(lèi)討論，討論拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間端點(diǎn)的大小，數(shù)形結(jié)合，得到結(jié)論；第三問(wèn)，已知條件中有5個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)解析式的特點(diǎn)，知有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，通過(guò)拋物線的圖形可知要使有2個(gè)不同的實(shí)根，只需，而，通過(guò)第一問(wèn)得到的極值點(diǎn)，討論2個(gè)數(shù)的3種大小關(guān)系，結(jié)合圖象，確定a的取值范圍，a的取值范圍需保證和同時(shí)成立，還得保證這5個(gè)根互不相等.
試題解析：（1），則，
令，得或，而在處有極大值，  
∴或；綜上：或．  3分
（2）假設(shè)存在，即存在，使得
，
當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得
，            4分
 當(dāng)即時(shí)，得，； 
5分
 當(dāng)即時(shí)，得，  6分
無(wú)解；綜上：．                7分
(3)據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．\（ⅰ）有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；    8分
（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，
當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；    9分
當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；
當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；  10分
因?yàn)椋á。�（ⅱ）要同時(shí)滿足，故；（注：也對(duì)）   11分
下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立.
若存在使得，
由，即，得，
當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；
當(dāng)時(shí)，既有   ①；
又由，即  ②；   聯(lián)立①②式，可得；
而當(dāng)時(shí)，沒(méi)有5個(gè)不
同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)．     14分