Question

若曲線f(x)=ax²+lnx存在垂直于y軸的切線,則實數a的取值范圍是　　　　.

Answer 1

(-∞,0)

【思路點撥】求出導函數,根據導函數有零點,求a的取值范圍.
解:由題意知該函數的定義域為(0,+∞),且f'(x)=2ax+.因為存在垂直于y軸的切線,故此時斜率為0,問題轉化為x>0時導函數f'(x)=2ax+存在零點的問題.
方法一(圖象法):將之轉化為g(x)=-2ax與h(x)=存在交點.
當a=0時不符合題意,當a>0時,如圖1,數形結合可得沒有交點,當a<0時,如圖2,此時正好有一個交點,故有a<0,應填(-∞,0).

方法二(分離變量法):可等價于方程2ax+=0在(0,+∞)內有解,顯然可得a=-∈(-∞,0).