Question

【題目】已知點(diǎn)、是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，其漸近線為，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與相交于、兩點(diǎn)，直線的法向量為，且，求的值；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點(diǎn)滿足，求的值及的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），

【解析】

（1）由漸近線為，可知，由右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3，可知，再根據(jù)，求解，，即可.

（2）由題意可知，直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，得，根據(jù)韋達(dá)定理，確定，，再由，得，求解的值，即可.

（3）有（2）可知，從而確定，設(shè)，由得，代入雙曲線的方程，解得值以及點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式，求解點(diǎn)到直線的距離.再求解的面積即可.

解：（1）由題意得解得，，

所以雙曲線的方程為：.

（2）直線的方程為，由，得（*）

所以

由得

即

代入化簡，并解得（舍去負(fù)值）

（3）把代入（*）并化簡得，

此時(shí)，

所以

設(shè)，由得代入雙曲線的方程解得

（舍），，所以，

點(diǎn)到直線的距離為，

所以.