【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調區間和極值；
（2）若不等式
在區間
上恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）求證：
.
【答案】（1）單調遞增區間為
，單調遞減區間為
，
的極大值為
，無極小值；（2）
；（3）詳見解析.
【解析】
（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，進而確定單調區間和極值；（2）先分離變量，轉化為對應函數最值，再利用導數求對應函數最值，即得結果，（3）利用（2）得
，即得
，再利用放縮以及裂項相消法求和，即得結果.
解：（1）∵
，其定義域為
，
∴
，
令
，得
，
令
，得
.
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，
的極大值為，無極小值.
（2）∵
，
，
∴
，令
，
則
，
令
，解得
.
當
在內變化時，
，
的變化情況如下表：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
|
|
|
|
由表知，當時，函數有最大值，且最大值為
，∴
，
∴實數
的取值范圍為.
（3）由（2）知，，
∴，
∴
.
∵
，
∴
，
即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查某校學生每周課外閱讀的情況，采用分層抽樣的方法，收集100位學生每周課外閱讀時間的樣本數據（單位：小時）.根據這100個數據，制作出學生每周課外閱讀時間的頻率分布直方圖（如圖）.
（1）估計這100名學生每周課外閱讀的平均數
和樣本方差
（同一組數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）由頻率分布直方圖知，該校學生每周課外閱讀時間
近似服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
①求
；
②若該校共有10000名學生，記每周課外閱讀時間在區間
的人數為
，試求
.
參數數據：
，若
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（題文）（題文）已知橢圓
的左右頂點分別為
，
，右焦點
的坐標為
，點
坐標為
，且直線
軸，過點作直線與橢圓
交于
，
兩點（，在第一象限且點在點的上方），直線
與
交于點
，連接
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線的斜率為
，直線
的斜率為
，問：
的斜率乘積是否為定值，若是求出該定值，若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】物價監督部門為調研某公司新開發上市的一種產品銷售價格的合理性，對某公司的該產品的銷量與價格進行了統計分析，得到如下數據和散點圖：
定價x（元／kg） | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年銷量y（kg） | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
z＝21ny | 14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
（參考數據：
，
，
，
）
（Ⅰ）根據散點圖判斷，y與x和z與x哪一對具有的線性相關性較強（給出判斷即可，不必說明理由）？
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及數據，建立y關于x的回歸方程（方程中的系數均保留兩位有效數字）．
附：對于一組數據（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓P恒過定點
，且與直線
相切．
（Ⅰ）求動圓P圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點C、D在軌跡M上，求正方形的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓C：
過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．設點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線l的斜率等于-1，求出k1k2的值；
（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中,已知
，M是BC的中點.
(1)若
,求向量
與向量
的夾角的余弦值；
(2)若O是線段AM上任意一點,且
，求
的最小值；
(3)若點P是邊BC上的一點,且
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標系中，將曲線
向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的
，得到曲線
，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為
．
（1）求曲線的參數方程；
（2）已知點
在第一象限，四邊形
是曲線的內接矩形，求內接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方體
的棱長為1，線段
上有兩個動點
，且
，現有如下四個結論：
；
平面
；
三棱錐
的體積為定值；
異面直線
所成的角為定值，
其中正確結論的序號是______．
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