【題目】已知函數
.
（Ⅰ）當
時，判斷函數
的單調性；
（Ⅱ）當
時，證明：
.（
為自然對數的底數）
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）函數
的定義域為
.
.
①當
時，
.
當
時，
，函數單調遞增；
當
時，
，函數單調遞減.
②當
時，
.
當時，，函數單調遞增；
當
時，，函數單調遞減；
當
時，，函數單調遞增.
③當
時，
.
易知
恒成立，函數在上單調遞增；
④當
時，
.
當
時，，函數單調遞增；
當
時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
綜上，當時，函數在
和
上單調遞增，在
上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在
和
上單調遞增，在
上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）當
時，不等式化為
.
記
，則
.
顯然
在上單調遞增，
且
，
.
所以在上有唯一的零點
，且
.
所以當
時，
，函數
單調遞減；當
時，
，函數單調遞增.
由
，即
，得
，
所以
，
而易知函數
在
上單調遞減，
所以
，
所以
.
所以
，即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著“互聯網+交通”模式的迅猛發展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現.某“共享助力單車”運營公司為了解某地區用戶對該公司所提供的服務的滿意度，隨機調查了200名用戶，得到用戶的滿意度評分，現將評分分為5組，如下表:
組別 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
滿意度評分 |
|
|
|
|
|
頻數 | 12 | 28 | 68 |
| 40 |
頻率 | 0.06 |
| 0.34 |
| 0.2 |
（1）求表格中的
，
，
的值；
（2）估計用戶的滿意度評分的平均數；
（3）若從這200名用戶中隨機抽取50人，估計滿意度評分高于6分的人數為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒
病毒
引起，它把人體免疫系統中最重要的CD4T淋巴細胞作為主要攻擊目標，使人體喪失免疫功能
下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數統計表：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代碼x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
感染者人數 |
|
|
|
|
|
|
| 85 |
請根據該統計表，畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數的折線圖；
請用相關系數說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關系；
建立y關于x的回歸方程
系數精確到
，預測2019年我國艾滋病病毒感染人數．
參考數據：
；
，
，
，
參考公式：相關系數
，
回歸方程
中，
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】太極圖被稱為“中華第一圖”．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極魚”．已知
或
，下列命題中：①
在平面直角坐標系中表示的區域的面積為
；②
，使得
；③
，都有
成立；④設點
，則
的取值范圍是
．其中真命題的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的個數是（ ）．
①“若
,則
,
中至少有一個不小于2”的逆命題是真命題；
②命題“設
,若
,則
或
”是一個真命題；
③命題
,
,則
是
的必要不充分條件；
④命題“
,使得
”的否定是：“
，均有
”．
A.4B.3C.2D.1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直線ρcosθ=1與曲線C相交于M，N兩點，直線l過定點P（2，0）且傾斜角為α，l交曲線C于A，B兩點．
（1）把曲線C化成直角坐標方程，并求|MN|的值；
（2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比數列，求直線l的傾斜角α．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為提高產品質量，某企業質量管理部門經常不定期地抽查產品進行檢測，現在某條生產線上隨機抽取100個產品進行相關數據的對比，并對每個產品進行綜合評分（滿分100分），將每個產品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產品為一等品.
（1）求圖中
的值，并求綜合評分的中位數；
（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產線中隨機抽取5個產品，再從這5個產品中隨機抽取2個產品記錄有關數據，求這2個產品中恰有一個一等品的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，在高為
的等腰梯形
中，
，且
，
，將它沿對稱軸
折起，使平面
平面
，如圖
，點
為
的中點，點
在線段
上(不同于
，
兩點)，連接
并延長至點
，使
.
(1)證明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
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