Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）探究函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（2）.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.

（1）依題意，，

當時，，故；

當時，，故當時，，當時，；

當時，，故；

綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（2）由題意得，當時，恒成立；

令，

求導(dǎo)得，

設(shè)，則，

因為，所以，所以，

所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

所以；

①當時，，此時，在上單調(diào)遞增，

而，所以恒成立，滿足題意；

②當時，，

而；

根據(jù)零點存在性定理可知，存在，使得.

當時，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

所以有，這與恒成立矛盾，舍去；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.