Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．
（1）當a=﹣1時，求f（x）的單調區間；
（2）若x≥1時，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，f（x）=ln（x﹣1）﹣x，x＞1，

f′（x）= ﹣1= ，

當1＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增，

當x＞2時，f′（x）＜0，f（x）遞減，

故f（x）在（1，2）遞增，在（2，+∞）遞減

（2）解：由題意得：x≥1時，x+a＞0恒成立，故a＞﹣1，①，

不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，

即 x2+ ﹣1＞0對任意的x≥1恒成立，

設g（x）= x2+ ﹣1，x≥1，

g′（x）= ，

a≤0時，g（2）=a（2+ ）﹣1+ ＜0，不合題意，

a＞0時，要使x≥1時，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，

只需g（1）=a（ + ）﹣1+ ＞0，即a＞ ，

a＞ 時，aexx﹣x+1﹣a=a（exx﹣1）+1﹣x＞ （exx﹣1）+1﹣x，

設h（x）= （exx﹣1）+1﹣x，x≥1，

h′（x）= exx+ ex﹣1，x≥1，

顯然h′（x）在（1，+∞）遞增，∴h′（x）＞h′（1）= ＞0，

∴h（x）在（1，+∞）遞增，h（x）＞h（1）= ＞0，

即aexx﹣x+1﹣a＞0，②，

由①②得：a＞ 時，滿足題意

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為 x2+ ﹣1＞0對任意的x≥1恒成立，設g（x）= x2+ ﹣1，x≥1，通過求導得到g（x）的單調性，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．