Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2， ．

（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AD中點O，連結PO、CO，

∵PA=PD= ，AB=2，∴△PAD為等腰直角三角形，

∴PO=1，PO⊥AD，

∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，

∴ ，又PC=2，

∴PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，

又AB∩CO=O，AB平面ABCD，CO平面ABCD，

∴PO⊥平面ACD，又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD

（2）解：建立以O為坐標原點，OC，OD，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：

則A（0，﹣1，0），C（ ，0，0），P（0，0，1），B（ ，﹣2，0），

設平面APC的法向量 =（x，y，z），

由 ，令z= ，則x=1，y=﹣ ．即 =（1，﹣ ， ）

設平面PCB的法向量 =（x，y，z），

由 ，

令z= ，則x=1，y=0，即 =（1，0， ）

cos＜ ， ＞= = ，

∵二面角A﹣PC﹣B的是銳二面角，

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值是 ．

【解析】（1）根據面面垂直的判定定理進行證明即可．（2）AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．