Question

【題目】已成橢圓 的離心率為 ．其右頂點與上頂點的距離為 ，過點 的直線 與橢圓 相交于 兩點．
（1）求橢圓 的方程；
（2）設 是 中點，且 點的坐標為 ，當 時，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

由題意可知： ，又 ，

∴ ，所以橢圓 的方程為 ；

（2）

①若直線 的斜率不存在，此時 為原點，滿足 ，所以，方程為 ，

②若直線 的斜率存在，設其方程為 ，

將直線方程與橢圓方程聯立可得

，即 ，

可得 ，

設 ，則 ，

由 可知 ，

化簡得 ，

解得 或 ，將結果代入 驗證，舍掉 ，

此時，直線 的方程為 ，

綜上所述，直線 的方程為 或 .

【解析】（1）易知焦點在x軸上，原點到右頂點的距離為a，原點到上頂點的距離為b，依據題意有a+b=5，然后根據離心率即可求出a、b的值；（2）分兩種情況進行討論：①斜率不存在時；②斜率存在時，設出直線方程，表示出M的坐標，通過QM⊥AB，求出直線的斜率，進而求出直線方程。
【考點精析】關于本題考查的橢圓的概念和橢圓的標準方程，需要了解平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．