Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f（x+a）＜f（a﹣x）；
（3）設(shè)x1 ， x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：f′（ ）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=x+1﹣a﹣ = ，

若a≤0，則f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）遞增，

若a＞0，則由f′（x）=0，解得：x=a，

當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，

當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＞0，

此時(shí)f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增

（2）解：令g（x）=f（a+x）﹣f（a﹣x），

則g（x）=2x﹣aln（a+x）+aln（a﹣x），

g′（x）=2﹣ ﹣ =﹣ ，

當(dāng)0＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）遞減，

而g（0）=0，故g（x）＜g（0）=0，

故0＜x＜a時(shí)，f（a+x）＜f（a﹣x）

（3）解：證明：由（1）得，a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）至多有1個(gè)零點(diǎn)，

故a＞0，從而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，

不妨設(shè)0＜x1＜x2，則0＜x1＜a＜x2，

∴0＜a﹣x1＜a，

由（2）得：f（2a﹣x1）=f（a+a﹣x1）＜f（x1）=0，

從而x2＞2a﹣x1，于是 ＞a，

由（1）得：f′（ ）＞0

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）令g（x）=f（a+x）﹣f（a﹣x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證出結(jié)論即可；（3）得到a＞0，從而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，不妨設(shè)0＜x1＜x2 ， 則0＜x1＜a＜x2 ， 得到0＜a﹣x1＜a，根據(jù)（1），（2）結(jié)論判斷即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．