Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E是BC中點，M是PD上的中點，F是PC上的動點． （Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直線EM與平面PAD所成角的正切值為 ，當F是PC中點時，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AC，
∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中點，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴PA⊥AE，
又PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD，
又AE平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，AE，AD，AP兩兩垂直，
以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM與平面PAD所成的角，
在Rt△AME中，tan ，即 = ，
設AB=2a，則AE= ，得AM= ，
又AD=AB=2a，設PA=2b，則M（0，a，b），
∴AM= = ，
從而b=a，∴PA=AD=2a，
則A（0，0，0），B（ ，﹣a，0），C（ ），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（ ），F（ ， ，a），
∴ =（ ）， =（ ， ，a）， =（﹣ ），
設 =（x，y，z）是平面AEF的一個法向量，
則 ，取z=a，得 =（0，﹣2a，a），
又BD⊥平面ACF，∴ =（﹣ ）是平面ACF的一個法向量，
設二面角C﹣AF﹣E的平面角為θ．
則cosθ= = = ．
∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）連接AC，推導出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能證明平面AEF⊥平面PCD． （Ⅱ）以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．