Question

【題目】現有正整數構成的數表如下：

第一行：1

第二行：1 2

第三行：1 1 2 3

第四行：1 1 2 1 1 2 3 4

第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5

…… …… ……

第行：先抄寫第1行，接著按原序抄寫第2行，然后按原序抄寫第3行,...,直至按原序抄寫第行，最后添上數.（如第四行，先抄寫第一行的數1，接著按原序抄寫第二行的數1，2，接著按原序抄寫第三行的數1，1，2，3，最后添上數4）.

將按照上述方式寫下的第個數記作（如）

（1）用表示數表第行的數的個數，求數列的前項和；

（2）第8行中的數是否超過73個？若是，用表示第8行中的第73個數，試求和的值；若不是，請說明理由；

（3）令，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據題意可以寫出當時， ，

，于是，即，所以，故；（2）根據，第8行中共有個數，所以，第8行中的數超過73個，所以，從而， ，由， ，所以，按上述順序依次寫下的第73個數應是第7行的第個數，同上過程知，所以， .（3）由于數表的前行共有個數，于是，先計算.在前個數中，共有1個，2個， 個，……， 個，……， 個1，因此 ，則 ，兩式相減，得 .

試題解析：（1）當時，

，

，

于是，即，又， ，

所以，

故.

（2）由得第8行中共有個數，

所以，第8行中的數超過73個，

，

從而， ，

由， ，

所以，按上述順序依次寫下的第73個數應是第7行的第個數，同上過程知，

所以， .

（3）由于數表的前行共有個數，于是，先計算.

在前個數中，共有1個，2個， 個，……， 個，……， 個1，

因此 ，

則 ，

兩式相減，得 .