Question

（本小題滿分16分）數列{a_n}的前n項和為S_n(n∈N*)，點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上.
（1）若數列{a_n+c}成等比數列，求常數c的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）數列{a_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)c=3； (2)×-3；(3)不存在。

試題分析：（Ⅰ）由“點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通項和前n項和關系可得a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比數列的定義，從而可確定c=3.
（Ⅱ）由（I）根據等比數列通項公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）先假設存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列根據等差中項有2a_p=a_s+a_r，再用通項公式展開整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因為s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1為偶數，1+2^r-s為奇數，奇數與偶數不會相等的．所以不存在．
點評：數列與函數的綜合運用，主要涉及了通項與前n項和的關系，構造等比數列，求通項，等差中項及數域問題．