Question

【題目】在△ABC中，A，B的坐標分別是 ，點G是△ABC的重心，y軸上一點M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|． （Ⅰ）求△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m與軌跡E相交于P，Q兩點，若在軌跡E上存在點R，使四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標原點），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設C（x，y），∵點G是△ABC的重心， ∴G ，
∵y軸上一點M滿足GM∥AB，∴ ．
∵|MC|=|MB|，
∴ ，
化為 即為△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），聯(lián)立 ，化為（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，
由△＞0，化為 2k2﹣m2+6＞0，
∴ ， ．
∵四邊形OPRQ為平行四邊形，
∴ ，
∴R（x1+x2 ， y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m= ，
∴R ．
∵點R在橢圓上，
∴ =6，化為2m2=k2+3．
代入△＞0，可得m2＞0，
又2m2≥3，解得 或m ．
∴m的取值范圍是 ∪
【解析】（Ⅰ）設C（x，y），由點G是△ABC的重心，可得G ，由y軸上一點M滿足GM∥AB，可得 ．由|MC|=|MB|，利用兩點之間的距離公式可得 ，即可得出；（Ⅱ）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得 2k2﹣m2+6＞0，由四邊形OPRQ為平行四邊形，可得 ，可得R（x1+x2 ， y1+y2），利用根與系數(shù)的關系可得R ．由點R在橢圓上，代入橢圓方程化為2m2=k2+3．結合△＞0，即可解出m的取值范圍．