Question

【題目】已知數列{an}中，a1=3，an+1=can+m（c，m為常數）
（1）當c=1，m=1時，求數列{an}的通項公式an；
（2）當c=2，m=﹣1時，證明：數列{an﹣1}為等比數列；
（3）在（2）的條件下，記bn= ，Sn=b1+b2+…+bn ， 證明：Sn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：當c=1，m=1時，數列{an}中，a1=3，an+1=an+1，

∴數列{an}是首項為3，公差為1的等差數列，

∴an=3+（n﹣1）×1=n+2

（2）解：證明：當c=2，m=﹣1時，數列{an}中，a1=3，an+1=2an﹣1，

∴an+1﹣1=2（an﹣1），

又a1﹣1=3﹣1=2，

∴數列{an﹣1}為首項為2，公比為2的等比數列

（3）解：∵數列{an﹣1}為首項為2，公比為2的等比數列，

∴ ，∴an=2n+1，

∴bn= = ，

∴Sn=b1+b2+…+bn=

= =1﹣ ＜1．

∴Sn＜1

【解析】（1）當c=1，m=1時，數列{an}是首項為3，公差為1的等差數列，由此能求出an的表達式．（2）當c=2，m=﹣1時，an+1=2an﹣1，從而an+1﹣1=2（an﹣1），由此能證明數列{an﹣1}為首項為2，公比為2的等比數列．（3）推導出an=2n+1，從而bn= = ，由此能證明Sn＜1．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．