Question

【題目】如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2 ，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面體PEFC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設G為PC的中點，連接FG，EG，

∵F為PD的中點，E為AB的中點，

∴FG CD，AE CD

∴FG AE，∴AF∥GE

∵GE平面PEC，

∴AF∥平面PCE

（2）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，

所以EG為四面體PEFC的高，

又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG=AF= ，GF= CD= ，

S△PCF= PDGF=2．

得四面體PEFC的體積V= S△PCFEG=

【解析】（1）設G為PC的中點，連接FG，EG，根據(jù)中位線定理得到FG CD，AE CD，進而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．（2）根據(jù)PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．（3）先由（2）可得知EG為四面體PEFC的高，進而求出S△PCF ， 根據(jù)棱錐的體積公式可得到答案．
【考點精析】本題主要考查了棱錐的結構特征和直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．