Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數f（x）=loga ．
（1）求f（x）的定義域D及其零點；
（2）設g（x）=mx2﹣2mx+3，當a＞1時，若對任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知， ＞0，1﹣x＞0，解得x＜1，

所以函數f（x）的定義域為：（﹣∞，1），

令f（x）=0，得 =1，解得：x=﹣1，

故函數f（x）的零點為﹣1

（2）解：若對于任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2）成立，

只需f（x）max≤g（x）max，

當a＞1時，f（x）在（﹣∞，1]上單調遞增，則f（x）max=f（﹣1）=0，

當m=0時，g（x）=3，f（x1）≤g（x2）成立，

當m＞0時，g（x）在[3，4]上單調遞增，g（x）max=g（4）=8m+3，

由8m+3≥0，解得：m≥﹣ ，∴m＞0，

當m＜0時，g（x）在[3，4]上單調遞減，g（x）max=g（3）=3m+3，

由3m+3≥0，解得：m≥﹣1，∴﹣1≤m＜0，

綜上，滿足條件的m的范圍是：m≥﹣1

【解析】（1）根據對數函數的性質求出函數的定義域即可，令f（x）=0，求出函數的零點即可；（2）要滿足題意只需f（x）max≤g（x）max ， 易得f（x）max=f（﹣1）=0，由二次函數分類討論可得g（x）max ， 解關于m的不等式可得．