Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率為，焦距為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，動直線： 交橢圓于兩點， 是橢圓上一點，直線的斜率為，且， 是線段延長線上一點，且， 的半徑為， 是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1） （2） 的最大值為 ，取得最大值時直線的斜率為 .

【解析】試題分析：（I）本小題由， 確定即得.

（Ⅱ）通過聯立方程組化簡得到一元二次方程后應用韋達定理，應用弦長公式確定及

圓的半徑表達式.

進一步求得直線的方程并與橢圓方程聯立，確定得到的表達式，研究其取值范圍.這個過程中，可考慮利用換元思想，應用二次函數的性質及基本不等式.

試題解析：（I）由題意知 ， ，

所以 ，

因此 橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，

聯立方程

得，

由題意知，

且，

所以 .

由題意可知圓的半徑為

由題設知，

所以

因此直線的方程為.

聯立方程

得，

因此 .

由題意可知 ，

而

，

令，

則，

因此 ，

當且僅當，即時等號成立，此時，

所以 ，

因此，

所以 最大值為.

綜上所述： 的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.