Question

【題目】已知拋物線，過點的直線與拋物線交于 兩點，又過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線交于點。

（1）證明：直線的斜率之積為定值；

（2）求面積的最小值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設直線方程為，通過聯立直線與拋物線方程得到，用韋達定理表示出，再利用導數的幾何意義表示出兩切線的乘積，即可解得

（2）先采用設而不求得方法聯立和得

再利用弦長公式表示出，結合點到直線距離公式表示出三角形面積，分析因式特點，即可求解

（1）證明：由題意設 的方程為 ，

聯立 ，得 因為 ，

所以設 ，則

設直線 的斜率分別為 ，

對 求導得 ，

所以 ，

所以，（定值）

（2）解：由（1）可得直線 的方程為

①

直線 的方程為

②

聯立①②，得點 的坐標為，

由（1）得 ，

所以 .

于是 ，

點 到直線 的距離，

所以 ，

當，即時，的面積取得最小值