Question

【題目】如圖所示，在四棱臺中，底面，四邊形為菱形，，.

（1）若為中點，求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接，可證 ，又因為底面，可得，即可得證.

（2）如圖建立空間直角坐標系，求出和平面 的一個法向量的坐標，則直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：

（Ⅰ）∵四邊形為菱形，，連結，則為等邊三角形，

又∵為中點∴，由得∴

∵底面，底面∴，又∵

∴平面

（Ⅱ）∵四邊形為菱形，，，

得，，∴ 又∵底面，

分別以，，為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

、、、

∴，，

設平面的一個法向量，

則有，令，則

∴直線與平面所成角的正弦值

．

點晴：本題考查的空間的線面關系以及空間的角.第一問通過證明直線和平面內的兩條相交直線垂直，證明平面；第二問中通過建立空間直角坐標系，求得和平面的一個法向量

，結合得到結論.