Question

【題目】已知函數 ． （Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數 ，若在[1，e]上至少存在一點x0 ， 使得f（x0）≥g（x0）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，函數 ，

∴f（1）=1﹣1﹣ln1=0. ，

曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=1+1﹣1=1．

從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=x﹣1，

即y=x﹣1．

（Ⅱ） ．

要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．

即：ax2﹣x+a≥0得： 恒成立．

由于 ，

∴ ，

∴

∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，實數a的取值范圍是 ．

（III）∵ 在[1，e]上是減函數

∴x=e時，g（x）min=1，x=1時，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]

f'（x）= 令h（x）=ax2﹣x+a

當 時，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函數，f（1）=0＜1

又 在[1，e]上是減函數，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）= ，g（x）min=1，即）= ≥1

解得a≥

∴實數a的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】（Ⅰ）當a=1時，求出切點坐標，然后求出f'（x），從而求出f'（1）的值即為切線的斜率，利用點斜式可求出切線方程；（Ⅱ）先求導函數，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，然后將a分離，利用基本不等式可求出a的取值范圍；（III）根據g（x）在[1，e]上的單調性求出其值域，然后根據（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范圍．