Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a為常數） （Ⅰ）當a=4時，求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞） 由 ，
當a=4時， ，
∴函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，（2，+∞）在上單調遞增；
（Ⅱ）由
當a≤2時，
∵f'（x）＞0對于x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增
∴f（x）＞f（1）=0，此時命題成立；
當a＞2時，
∵f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，
∴當 時，有f（x）＜f（1）=0．這與題設矛盾，不合．
故a的取值范圍是（﹣∞，2]；
（Ⅱ）依題意，設g（x）=f（x）+a+1，
原題即為若g（x）在（1，2）上有且只有一個零點，求a的取值范圍．
顯然函數g（x）與f（x）的單調性是一致的．
當a≤0時，因為函數g（x）在（1，2）上遞增，
由題意可知 ，
解得 ；
當a＞0時，因為g（x）=（x﹣1）2+alnx+（2﹣x）a+1，
當x∈（1，2）時，總有g（x）＞0，此時方程沒有實根．
綜上所述，當 時，方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一個實根．
【解析】（Ⅰ）根據導數和函數的單調性的關系即可求出，（Ⅱ）分類討論，確定函數的單調性，從而解得；（Ⅲ）依題意，設g（x）=f（x）+a+1，原題即為若g（x）在（1，2）上有且只有一個零點，求a的取值范圍．顯然函數g（x）與f（x）的單調性是一致的，根據函數的單調性，當a＜0，即可得到可知 ，解得即可，當a≥0，判斷此時方程沒有實根，問題得以解決．