Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對一切x＞5，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，

即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．

所以不等式g（x）＜0的解集為{x|﹣2＜x＜4}

（2）解：因為f（x）=x2﹣2x﹣8，

當x＞5時，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，

則x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，

即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．

所以對一切x＞5，均有不等式 ≥m成立．

而 =（x﹣1）+ ﹣2≥2 ﹣2=2（當x=3時等號成立）．

因為x=5，所以， =3．

實數m的取值范圍是（﹣∞，3]

【解析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函數f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍．