Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=3，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*若對(duì)于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N* ， 不等式 ﹣2at+1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣3]∪[3,+∞）
【解析】解：∵n（an+1﹣an）=an+1，

∴ ﹣ = = ．

∴ = + +…+ +a1

= + +…+ +3

=1﹣ +3（n=1時(shí)也成立）．

∴不等式 ﹣2at+1化為：4﹣ ＜t2﹣2at+1，

∵對(duì)于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式 ﹣2at+1恒成立，

∴t2﹣2at+1≥4，

化為：t2﹣2at﹣3≥0，

t≠0，t＞0時(shí)，a≤ ，可得1≤ ，化為t2﹣2t﹣3≥0，t＞0，解得t≥3．

t＜0時(shí)，a≥ ，可得﹣1≥ ，化為t2+2t﹣3≥0，t＜0，解得t≤﹣3．

則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．

故答案為：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．

n（an+1﹣an）=an+1，化為： ﹣ = = ．利用 = + +…+ +a1

可得 ，不等式 ﹣2at+1化為：4﹣ ＜t2﹣2at+1，根據(jù)對(duì)于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式 ﹣2at+1恒成立，可得t2﹣2at+1≥4，化為：t2﹣2at﹣3≥0，對(duì)t分類討論即可得出．