Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數的全體：在定義域內存在，使得成立.

（1）函數是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數，求的取值范圍；

（3）已知函數圖象與函數的圖象有交點，根據該結論證明：函數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）集合M中元素的性質，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函數解析式列出方程，進行求解，若無解則此函數不是M的元素，若有解則此函數是M的元素；
（2）根據f（x0+1）=f（x0）+f（1）和對數的運算，求出關于a的方程，再根據方程有解的條件求出a的取值范圍，當二次項的系數含有參數時，考慮是否為零的情況；
（3）利用f（x0+1）=f（x0）+f（1）和f（x）=2x+x2∈M，整理出關于x0的式子，利用y=2x圖象與函數y=-x的圖象有交點，即對應方程有根，與求出的式子進行比較和證明．

（1）若f（x）=∈M，在定義域內存在x0，

則+1=0，

∵方程x02+x0+1=0無解，

∴f（x）=M；

（2）由題意得，f（x）=lg∈M，

∴lg+2ax+2（a﹣1）=0，

當a=2時，x=﹣；

當a≠2時，顯然a>0,又由△≥0，得a2﹣6a+4≤0，a∈．

綜上，所求的；

（3）∵函數f（x）=2x+x2∈M，

∴﹣3

=，

∵函數y=2x圖象與函數y=﹣x的圖象有交點，設交點的橫坐標為a，

則，其中x0=a+1

∴f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2∈M．