Question

【題目】設函數f（x）=ex﹣ax，a是常數．
（Ⅰ）若a=1，且曲線y=f（x）的切線l經過坐標原點（0，0），求該切線的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的零點的個數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=ex﹣x，f′（x）=ex﹣1，
設切點坐標是（m，em﹣m），
則k=f′（m）=em﹣1，
故切線方程是：
y﹣（em﹣m）=（em﹣1）（x﹣m）
由0﹣（em﹣m）=（em﹣1）（0﹣m），得m=1，
所求切線為：y=（e﹣1）x
（Ⅱ）f′（x）=ex﹣a，當a＞0時，由f′（x）=0得x=lna
情形一：a＞0時，若x＜lna，則f′（x）＜0；若x＞lna，則f′（x）＞0．
函數f（x）在區間（﹣∞，lna）單調遞減，在區間（lna，+∞）單調遞增，
f（x）的最小值為f（lna）=a（1﹣lna）
①0＜a＜e時，f（lna）=a（1﹣lna）＞0，f（x）無零點
②a=e時，f（lna）=a（1﹣lna）=0，f（x）只有一個零點
③a＞e時，f（lna）=a（1﹣lna）＜0，根據f（0）=1＞0與函數的單調性，
f（x）在區間（﹣∞，lna）和（lna，+∞）各有一個零點，f（x）共有兩個零點
情形二：a=0時，f（x）=ex ， f（x）無零點
情形三：a＜0時，由f（x）=0得，ex=ax，
故曲線y=ex與y=ax只有一個交點，所以f（x）只有一個零點．
綜上所述，0≤a＜e時，f（x）無零點；
a＜0或a=e時，f（x）有一個零點；
a＞e時，f（x）有兩個零點
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，表示出切線方程，求出m的值，從而求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數f（x）的導數，通過討論 a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的零點個數即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．