Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，C為橢圓上位于第一象限內的一點．

（1）若點C的坐標為（2， ），求a，b的值；
（2）設A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且 = ，求直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：橢圓的離心率e= = = ，則 = ，①

由點C在橢圓上，將（2， ）代入橢圓方程， ，②

解得：a2=9，b2=5，

∴a=3，b= ，

（2）方法一：由（1）可知： = ，則橢圓方程：5x2+9y2=5a2，

設直線OC的方程為x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），

，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，

∴y2= ，由y2＞0，則y2= ，

由 = ，則AB∥OC，設直線AB的方程為x=my﹣a，

則 ，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，

由y=0，或y1= ，

由 = ，則（x1+a，y1）=（ x2， y2），

則y2=2y1，

則 =2× ，（m＞0），

解得：m= ，

則直線AB的斜率 = ；

方法二：由（1）可知：橢圓方程5x2+9y2=5a2，則A（﹣a，0），

B（x1，y1），C（x2，y2），

由 = ，則（x1+a，y1）=（ x2， y2），則y2=2y1，

由B，C在橢圓上，

∴ ，解得： ，

則直線直線AB的斜率k= = ．

直線AB的斜率 ．

【解析】（1）根據離心率表示出，根據點C在橢圓上，代入即可得到a，b的值，（2）方法一：根據（1）得到橢圓方程，設直線OC的方程為x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），聯立方程利用韋達定理可解出m的值，方法二：根據（1）得到橢圓方程，則A（﹣a，0），

B（x1，y1），C（x2，y2），由向量關系和B、C在橢圓上，解出x2，y2，可得直線AB的斜率.