Question

【題目】如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃建一個(gè)矩形游泳池ABCD及其矩形附屬設(shè)施EFGH，并將剩余空地進(jìn)行綠化，園林局要求綠化面積應(yīng)最大化．其中半圓的圓心為O，半徑為R，矩形的一邊AB在直徑上，點(diǎn)C，D，G，H在圓周上，E，F(xiàn)在邊CD上，且 ，設(shè)∠BOC=θ．

（1）記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為f（θ），求f（θ）的表達(dá)式；
（2）怎樣設(shè)計(jì)才能符合園林局的要求？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，AB=2Rcosθ，BC=Rsinθ，且△HOG 為等邊三角形，

所以，HG=R，GF= R﹣Rsinθ，

f（θ）=SABCD+SEFGH=2RcosθRsinθ+R（ R﹣Rsinθ），θ∈（0， ）

（2）解：要符合園林局的要求，只要f（θ）最小，

由（1）知，f′（θ）=R2（2cos2θ﹣2sin2θ﹣cosθ）=R2（4cos2θ﹣cosθ﹣2），

令f′（θ）=0，即4cos2θ﹣cosθ﹣2=0，

解得cosθ= 或 （舍去），

令cosθ0= ，θ0∈（0， ），

當(dāng)θ∈（0，θ0）時(shí)，f′（θ）＜0，f（θ）是單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)θ∈（θ0， ）時(shí)，f′（θ）＞0，f（θ）是單調(diào)增函數(shù)，

所以當(dāng)θ=θ0時(shí)，f（θ）取得最小值．

答：當(dāng)θ滿足cosθ= 時(shí)，符合園林局要求

【解析】（1）根據(jù)題意可得各個(gè)邊與θ的關(guān)系，故f（θ）可分為兩個(gè)矩形的面積之和，代入數(shù)值求得。（2）利用求導(dǎo)求出結(jié)果，驗(yàn)證當(dāng)θ=θ0時(shí)，f（θ）取得最小值。