【題目】已知點
在橢圓
上，且橢圓的離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
為橢圓
的右頂點，點
是橢圓
上不同的兩點（均異于
）且滿足直線
與
斜率之積為
.試判斷直線
是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.
【答案】(1) 
；(2)答案見解析.
【解析】試題分析：（1）由點
在橢圓
上，且橢圓的離心率為
，結(jié)合性質(zhì)
，列出關于
、
、
的方程組，求出
、
、
，即可得橢圓
的方程；（2）由題意，直線
的斜率存在，可設直線
的方程為
， 
， 
，聯(lián)立
，得
，根據(jù)韋達定理、斜率公式及直線
與
斜率之積為
，可得
，解得
或
，將以上結(jié)論代入直線方程即可得結(jié)果.
試題解析：（1）可知離心率
，故有
，
又有點
在橢圓
上，代入得
，
解得
， 
，
故橢圓
的方程為
.
（2）由題意，直線
的斜率存在，可設直線
的方程為
， 
， 
，
聯(lián)立
得
.
∴
， 
.
∵直線
與
斜率之積為
.
而點
，∴
.
∴
.
化簡得
，
∴
，
化簡得
，解得
或
，
當
時，直線
的方程為直線
與
斜率之積為
，過定點
.
代入判別式大于零中，解得
.
當
時，直線
的方程為
，過定點
，不符合題意.
故直線
過定點
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1： 
(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2
cos θ.
(1)求C2與C3交點的直角坐標；
(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）求曲線
在點
處的切線方程；
（2）求
的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對于任意
，都有
，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）求曲線
在點
處的切線方程；
（2）求證：存在唯一的
，使得曲線
在點
處的切線的斜率為
；
（3）比較
與
的大小，并加以證明．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設
為坐標原點，動點
在橢圓
上，過
作
軸的垂線，垂足為
，點
滿足
.（Ⅰ）求點
的軌跡方程
；
（Ⅱ）過
的直線
與點
的軌跡交于
兩點，過
作與
垂直的直線
與點
的軌跡交于
兩點，求證： 
為定值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的自動通風設施.該設施的下部
是等腰梯形，其中
為2米，梯形的高為1米， 
為3米，上部
是個半圓，固定點
為
的中點. 
是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和
平行.當
位于
下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形
（陰影部分均不通風）.
（1）設
與
之間的距離為
（
且
）米，試將通風窗的通風面積
（平方米）表示成關于
的函數(shù)
；
（2）當
與
之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積
取得最大值？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】“累積凈化量（
）”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為
時對顆粒物的累積凈化量，以克表示.根據(jù)
《空氣凈化器》國家標準，對空氣凈化器的累計凈化量（
）有如下等級劃分：
累積凈化量（克） |
|
|
| 12以上 |
等級 |
|
|
|
|
為了了解一批空氣凈化器（共2000臺）的質(zhì)量，隨機抽取
臺機器作為樣本進行估計，已知這
臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間
中.按照
均勻分組，其中累積凈化量在
的所有數(shù)據(jù)有： 
和
，并繪制了如下頻率分布直方圖：
（1）求
的值及頻率分布直方圖中的
值；
（2）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為
的空氣凈化器有多少臺？
（3）從累積凈化量在
的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為
的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點分別為
， 若橢圓上一點
滿足
，且橢圓
過點
，過點
的直線
與橢圓
交于兩點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若點
是點
在
軸上的垂足，延長
交橢圓
于
，求證： 
三點共線．
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