Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若對于任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的增區間是；

遞減區間是；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出的值可得切點坐標，再求出,可得的值，即得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（3）對于任意，都有等價于，令， ，利用導數研究函數的單調性，求出函數的最大值，從而可得結果.

試題解析：（1）因為函數，所以,

.又因為，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2）函數定義域為， 由（1）可知， .

令解得.

與在區間上的情況如下：

	減	極小值	增

所以， 的單調遞增區間是；

的單調遞減區間是.

（3）當時，“”等價于“”.

令， ，

， .

當時， ，所以在區間單調遞減.

當時， ，所以在區間單調遞增.

而，

.

所以在區間上的最大值為.

所以當時，對于任意，都有.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題（3）是利用方法 ① 求得實數的取值范圍.