Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求證：存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為；

（3）比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出的值可得切點坐標，求出,可得的值，從而得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）由已知，只需證明方程 在區間有唯一解，先利用導數證明在區間單調遞增，再利用零點存在定理可得結論；（3）當時，利用導數研究函數的單調性，可得，即 ，令 即可的結果.

試題解析：（1）函數的定義域是，

導函數為． 所以， 又，

所以曲線在點處的切線方程為，

（2）由已知．

所以只需證明方程 在區間有唯一解．

即方程 在區間有唯一解．

設函數 ，則 ．

當 時， ，故在區間單調遞增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

綜上，存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為．

（3）．證明如下：首先證明：當時， ．

設 ，則 ．

當 時， ， 所以 ，故在單調遞增，

所以 時，有，即當 時，有．

所以 ．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與零點，屬于難題. 求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.