Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于兩點，的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點,分別是橢圓的左頂點、左焦點，直線與橢圓交于不同的兩點、（、都在軸上方）．且．證明：直線過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，知，可知 由橢圓的定義知,的周長為，進而求解；（2）設直線和橢圓聯立得到二次方程，，∴，進而轉化為代數關系，整理可得根據韋達定理，整理上式得到，從而求解.

（1）設橢圓的焦距為，由題意，知，可知，

由橢圓的定義知,的周長為，∴，故

∴橢圓的方程為

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0。設直線

設，

把直線代入橢圓方程，整理可得,，即

∴，，

∵，

∵、都在軸上方．且，∴，

∴，即,代入

整理可得，

即，整理可得，

∴直線為，∴直線過定點